SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL PART 2

 

Soal Nomor 1
Pak Sukardi mempunyai uang Rp150.000,00 yang terdiri atas $a$ lembar uang lima ribuan, $b$ lembar uang sepuluh ribuan, dan $c$ lembar uang dua puluh ribuan. Pak Sintan mempunyai uang Rp330.000,00 yang terdiri atas $b$ lembar uang dua puluh ribuan dan $c$ lembar uang lima puluh ribuan. Pak Ridwan mempunyai uang Rp600.000,00 yang terdiri atas $a$ lembar uang lima puluh ribuan dan $c$ lembar uang seratus ribuan. Jika Pak Akwila hanya mempunyai $c$ lembar uang seratus ribuan, maka uang Pak Akwila sebanyak $\cdots \cdot$
A. Rp400.000,00
B. Rp500.000,00
C. Rp700.000,00
D. Rp1.000.000,00
E. Rp1.500.000,00

Pembahasan

Perhatikan bahwa $a,b,c$ menyatakan variabel yang mewakili banyaknya lembaran uang tertentu.
Pak Sukardi mempunyai uang Rp150.000,00 yang terdiri atas $a$ lembar uang lima ribuan, $b$ lembar uang sepuluh ribuan, dan $c$ lembar uang dua puluh ribuan.
Secara matematis, ditulis
$5.000a+10.000b+20.000c=150.000$
dan dapat disederhanakan menjadi
$a+2b+4c=30$
Pak Sintan mempunyai uang Rp330.000,00 yang terdiri atas $b$ lembar uang dua puluh ribuan dan $c$ lembar uang lima puluh ribuan.
Secara matematis, ditulis
$20.000b+50.000c=330.000$
dan dapat disederhanakan menjadi
$2b+5c=33$
Pak Ridwan mempunyai uang Rp600.000,00 yang terdiri atas $a$ lembar uang lima puluh ribuan dan $c$ lembar uang seratus ribuan.
Secara matematis, ditulis
$50.000a+100.000c=600.000$
dan dapat disederhanakan menjadi
$a+2c=12$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\{\begin{array}{cccc}a+2b+4c& =30& & (\cdots 1)\\ 2b+5c& =33& & (\cdots 2)\\ a+2c& =12& & (\cdots 3)\end{array}$
Eliminasi $b$ dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}a+2b+4c& =30\\ 2b+5c& =33\end{array}\\ –\\ \begin{array}{cccc}a-c& =-3& & (\cdots 4)\end{array}\end{array}$
Eliminasi $a$ pada persamaan $\left(3\right)$ dan $\left(4\right)$ untuk mendapatkan nilai $c$.
$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}a+2c& =12\\ a-c& =-3\end{array}\\ –\\ \begin{array}{cc}3c& =15\\ c& =5\end{array}\end{array}$
Jika Pak Akwila hanya mempunyai $c$ lembar uang seratus ribuan, maka ini berarti uang Pak Akwila sebanyak $100.000c=100.000\left(5\right)=\text{Rp}500.000,00$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Sebuah pertunjukan seni disaksikan oleh $20\%$ penonton anak-anak, sepertiga penonton pria dewasa, dan sisanya penonton wanita dewasa. Jika banyak penonton wanita dewasa $200$ lebihnya dari banyak penonton pria dewasa, maka jumlah penonton seluruhnya pada pertunjukan seni tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1.000$ orang                         D. $1.600$ orang
B. $1.200$ orang                         E. $1.800$ orang
C. $1.500$ orang

Pembahasan

Misalkan $A,P,W$ berturut-turut menyatakan banyak penonton anak-anak, penonton pria dewasa, dan penonton wanita dewasa.
Pertunjukan seni itu disaksikan oleh $20\%=\frac{1}{5}$ penonton anak-anak, $\frac{1}{3}$ penonton pria dewasa, dan sisanya penonton wanita dewasa, yaitu
$1-\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=\frac{15-3-5}{15}=\frac{7}{15}$
Dengan demikian, perbandingannya adalah
$\begin{array}{cc}A:P:W& =\frac{1}{5}:\frac{1}{3}:\frac{7}{15}\\ & =3:5:7\end{array}$
Dari perbandingan di atas, dapat ditulis
$\frac{P}{W}=\frac{5}{7}\iff 5W=7P$
dan juga
$\frac{A}{P}=\frac{3}{5}\iff 5A=3P$
Banyak penonton wanita dewasa $200$ lebihnya dari banyak penonton pria dewasa. Secara matematis, ditulis
$W=P+200$
Diperoleh SPLTV
$\{\begin{array}{cccc}5W& =7P& & (\cdots 1)\\ 5A& =3P& & (\cdots 2)\\ W& =P+200& & (\cdots 3)\end{array}$
Substitusi persamaan $\left(3\right)$ pada persamaan $\left(1\right)$.
$\{\begin{array}{cc}5W& =7P\\ 5(P+200)& =7P\\ 5P+1.000& =7P\\ 2P& =1.000\\ P& =500\end{array}$
Substitusi $P=500$ pada persamaan $\left(3\right)$.
$\begin{array}{cc}W& =P+200\\ & =500+200=700\end{array}$
Substitusi $P=500$ pada persamaan $\left(2\right)$.
$\begin{array}{cc}5A& =3P\\ 5A& =3\left(500\right)=1.500\\ A& =300\end{array}$
Jadi, banyak penonton anak-anak $300$ orang, penonton pria dewasa $500$ orang, dan penonton wanita dewasa $700$ orang, dengan total keseluruhan sebanyak $300+500+700=1.500$ penonton.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui segitiga $ABC$ dengan besar sudut terkecil sama dengan besar $\frac{1}{3}$ sudut menengah. Besar sudut terbesarnya dua kali jumlah besar dua sudut lainnya. Besar sudut-sudut segitiga $ABC$ tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. ${15}^{\circ },{30}^{\circ }$, dan ${135}^{\circ }$
B. ${15}^{\circ },{45}^{\circ }$, dan ${120}^{\circ }$
C. ${30}^{\circ },{45}^{\circ }$, dan ${105}^{\circ }$
D. ${30}^{\circ },{60}^{\circ }$, dan ${90}^{\circ }$
E. ${45}^{\circ },{60}^{\circ }$, dan ${75}^{\circ }$

Pembahasan

Misalkan $x,y,z$ berturut-turut menyatakan besar sudut terkecil, sudut menengah, dan sudut terbesar (dalam satuan derajat) pada segitiga $ABC$.
Diketahui segitiga $ABC$ dengan besar sudut terkecil $\left(x\right)$ sama dengan besar $\frac{1}{3}$ sudut menengah $\left(y\right)$. Secara matematis, ditulis
$x=\frac{1}{3}y\iff 3x-y=0$
Besar sudut terbesarnya $\left(z\right)$ dua kali jumlah besar dua sudut lainnya. Secara matematis, ditulis
$z=2(x+y)\iff 2x+2y-z=0$
Ingat bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah ${180}^{\circ }$. Untuk itu, ditulis
$x+y+z=180$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\{\begin{array}{cccc}3x-y& =0& & (\cdots 1)\\ 2x+2y-z& =0& & (\cdots 2)\\ x+y+z& =180& & (\cdots 3)\end{array}$
Eliminasi $y$ dan $z$ dari persamaan $\left(2\right)$ dan $\left(3\right)$.
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2x+2y-z& =0\\ x+y+z& =180\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 1\\ \times 2\end{array}\right|& \begin{array}{cc}2x+2y-z& =0\\ 2x+2y+2z& =360\end{array}\\ & –\\ & \begin{array}{cccc}-3z& =-360& & \\ z& =120& & \end{array}\end{array}$$Substitusi $z=120$ pada persamaan $\left(2\right)$.
$\begin{array}{cccc}2x+2y-z& =0& & \\ 2x+2y-120& =0& & \\ 2x+2y& =120& & \\ x+y& =60& & (\cdots 4)\end{array}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(4\right)$.
$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}3x-y& =0\\ x+y& =60\end{array}\\ +\\ \begin{array}{cc}4x& =60\\ x& =15\end{array}\end{array}$
Substitusi $x=15$ pada persamaan $\left(4\right)$.
$\begin{array}{cc}x+y& =60\\ 15+y& =60\\ y& =45\end{array}$
Jadi, besar sudut pada segitiga $ABC$ dimulai dari sudut terkecilnya adalah ${15}^{\circ },{45}^{\circ }$, dan ${120}^{\circ }$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Untuk suatu acara pertunjukan dijual tiket dengan harga tiket dewasa Rp33.000,00, tiket remaja Rp24.000,00, dan tiket anak-anak Rp9.000,00. Pada hari pembukaan, jumlah tiket anak-anak dan remaja yang terjual $30$ lebih banyak dari $\frac{1}{2}$ jumlah tiket dewasa yang terjual. Jumlah tiket remaja yang terjual $5$ lebih banyak dari $4$ kali jumlah tiket anak-anak yang terjual. Jika jumlah hasil penjualan tiket seluruhnya Rp89.820.000,00, maka remaja yang menonton pertunjukan pada hari pembukaan sebanyak $\cdots \cdot$
A. $210$ orang                          D. $2.050$ orang
B. $845$ orang                          E. $2.100$ orang
C. $1.025$ orang

Pembahasan

Misalkan harga masing-masing tiket dewasa, remaja, dan anak-anak adalah $D,R$, dan $A$.
Diketahui harga tiket dewasa Rp33.000,00, tiket remaja Rp24.000,00, dan tiket anak-anak Rp9.000,00 dan hasil penjualan tiket seluruhnya Rp89.820.000,00. Secara matematis, ditulis
$\begin{array}{cc}33.000D& +24.000R+9.000A\\ & =\mathrm{89.820.000}\end{array}$
Sederhanakan (bagi $1.000$).
$33D+24R+9A=89.820$
Jumlah tiket anak-anak dan remaja yang terjual $30$ lebih banyak dari $\frac{1}{2}$ jumlah tiket dewasa yang terjual. Secara matematis, ditulis
$A+R=\frac{1}{2}D+30$
yang ekuivalen dengan
$-D+2R+2A=60$
Jumlah tiket remaja yang terjual $5$ lebih banyak dari $4$ kali jumlah tiket anak-anak yang terjual. Secara matematis, ditulis
$R=4A+5\iff R-4A=5$
Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\{\begin{array}{cccc}33D+24R+9A& =89.820& & (\cdots 1)\\ -D+2R+2A& =60& & (\cdots 2)\\ R-4A& =5& & (\cdots 3)\end{array}$
Eliminasi $D$ dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}33D+24R+9A& =89.820\\ -D+2R+2A& =60\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 1\\ \times 33\end{array}\right|& \begin{array}{cc}33D+24R+9A& =89.820\\ -33D+66R+66A& =1.980\end{array}\\ & +\\ & \begin{array}{cccc}90R+75A& =91.800& & \\ 6R+5A& =6.120& & (\cdots 4)\end{array}\end{array}$$Eliminasi $A$ dari persamaan $\left(3\right)$ dan $\left(4\right)$.
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}R-4A& =5\\ 6R+5A& =6.120\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 5\\ \times 4\end{array}\right|& \begin{array}{cc}5R-20A& =25\\ 24R+20A& =24.480\end{array}\\ & +\\ & \begin{array}{cc}29R& =24.505\\ R& =845\end{array}\end{array}$$Jadi, remaja yang menonton pertunjukan pada hari pembukaan sebanyak $845$ orang.
(Jawaban B)

[collapse]