SPLTV

 Soal Nomor 1

Farly mempunyai kelereng merah, biru, dan hijau. Perbandingan antara banyak kelereng merah dan biru adalah $3:4$. Jumlah kelereng merah dan hijau adalah $27$. Jika dua kali banyak kelereng biru ditambah banyak kelereng hijau sama dengan $37$, maka banyak kelereng merah, biru, dan hijau berturut-turut yang dimiliki Farly adalah $\cdots \cdot$
A. $12,16$, dan $20$
B. $12,16$, dan $18$
C. $12,16$, dan $15$
D. $6,8$, dan $21$
E. $6,8$, dan $15$

Pembahasan

Misalkan $x,y,z$ berturut-turut menyatakan banyaknya kelereng merah, biru, dan hijau.
Perbandingan antara banyak kelereng merah $\left(x\right)$ dan biru $\left(y\right)$ adalah $3:4$. Secara matematis, ditulis
$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}\iff 4x-3y=0$
Jumlah kelereng merah $\left(x\right)$ dan hijau $\left(z\right)$ adalah $27$. Secara matematis, ditulis
$x+z=27$
Dua kali banyak kelereng biru $\left(y\right)$ ditambah banyak kelereng hijau $\left(z\right)$ sama dengan $37$. Secara matematis, ditulis
$2y+z=37$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\{\begin{array}{cccc}4x-3y& =0& & (\cdots 1)\\ x+z& =27& & (\cdots 2)\\ 2y+z& =37& & (\cdots 3)\end{array}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4x-3y& =0\\ x+z& =27\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 1\\ \times 4\end{array}\right|& \begin{array}{cc}4x-3y& =0\\ 4x+4z& =108\end{array}\\ & –\\ & \begin{array}{cccc}3y+4z& =108& & (\cdots 4)\end{array}\end{array}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $\left(3\right)$ dan $\left(4\right)$.
$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2y+z& =37\\ 3y+4z& =108\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 4\\ \times 1\end{array}\right|& \begin{array}{cc}8y+4z& =148\\ 3y+4z& =108\end{array}\\ & –\\ & \begin{array}{cc}5y& =40\\ y& =8\end{array}\end{array}$
Substitusi $y=8$ pada persamaan $\left(3\right)$.
$\begin{array}{cc}2y+z& =37\\ 2\left(8\right)+z& =37\\ 16+z& =37\\ z& =21\end{array}$
Substitusi $z=21$ pada persamaan $\left(2\right)$.
$\begin{array}{cc}x+z& =27\\ x+21& =27\\ x& =6\end{array}$
Jadi, banyaknya kelereng merah, biru, dan hijau berturut-turut adalah $6,8,\text{dan}21$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Harga $3$ buku tulis, $2$ pensil, dan $3$ bolpoin adalah Rp15.700,00. Harga $2$ buku tulis dan $3$ pensil adalah Rp9.200,00. Harga $4$ pensil dan $3$ bolpoin adalah Rp11.000,00. Jika seorang siswa membeli $2$ buku, $1$ pensil, dan $1$ bolpoin, maka ia harus membayar uang sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp5.700,00                  D. Rp8.800,00
B. Rp6.700,00                  E. Rp10.700,00
C. Rp8.200,00

Pembahasan

Misalkan $x,y,z$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis, pensil, dan bolpoin dalam rupiah.
SPLTV yang sesuai dengan permasalahan di atas adalah
$\{\begin{array}{cccc}3x+2y+3z& =15.700& & (\cdots 1)\\ 2x+3y& =9.200& & (\cdots 2)\\ 4y+3z& =11.000& & (\cdots 3)\end{array}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}3x+2y+3z& =15.700\\ 2x+3y& =9.200\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 2\\ \times 3\end{array}\right|& \begin{array}{cc}6x+4y+6z& =31.400\\ 6x+9y& =27.600\end{array}\\ & –\\ & \begin{array}{cccc}-5y+6z& =3.800& & (\cdots 4)\end{array}\end{array}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $\left(3\right)$ dan $\left(4\right)$.
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4y+3z& =11.000\\ -5y+6z& =3.800\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 2\\ \times 1\end{array}\right|& \begin{array}{cc}8y+6z& =22.000\\ -5y+6z& =3.800\end{array}\\ & –\\ & \begin{array}{cc}13y& =18.200\\ y& =1.400\end{array}\end{array}$$Substitusi $y=1.400$ pada persamaan $\left(2\right)$.
$\begin{array}{cc}2x+3y& =9.200\\ 2x+3\left(1.400\right)& =9.200\\ 2x+4.200& =9.200\\ 2x& =5.000\\ x& =2.500\end{array}$
Substitusi $y=1.400$ pada persamaan $\left(3\right)$.
$\begin{array}{cc}4y+3z& =11.000\\ 4\left(1.400\right)+3z& =11.000\\ 5.600+3z& =11.000\\ 3z& =5.400\\ z& =1.800\end{array}$
Jadi, harga $1$ buku tulis, pensil, dan bolpoin berturut-turut adalah Rp2.500,00; Rp1.400,00; dan Rp1.800,00.
Seorang siswa membeli $2$ buku, $1$ pensil, dan $1$ bolpoin. Uang yang harus dibayar olehnya adalah
$\begin{array}{cc}2x+y+z& =2\left(2.500\right)+1.400+1.800\\ & =\text{Rp}8.200,00\end{array}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Resty mempunyai pita hias berwarna merah, ungu, dan kuning. Jumlah panjang ketiga pita hias tersebut adalah $275$ cm. Panjang pita ungu $5$ cm kurangnya dari panjang pita kuning. Panjang pita kuning $20$ cm lebihnya dari panjang pita merah. Jika pita kuning dipakai sepanjang $35$ cm, maka panjang pita kuning tersisa adalah $\cdots \cdot$
A. $45$ cm                     D. $75$ cm
B. $50$ cm                     E. $80$ cm
C. $65$ cm

Pembahasan

Misalkan $M,U,K$ berturut-turut menyatakan panjang pita merah, ungu, dan kuning dalam satuan cm.
Jumlah panjang ketiga pita hias tersebut adalah $275$ cm. Secara matematis, ditulis
$M+U+K=275$
Panjang pita ungu $5$ cm kurangnya dari panjang pita kuning. Secara matematis, ditulis
$U=K-5$
Panjang pita kuning $20$ cm lebihnya dari panjang pita merah. Secara matematis, ditulis
$K=M+20\iff M=K-20$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\{\begin{array}{cccc}M+U+K& =275& & (\cdots 1)\\ U& =K-5& & (\cdots 2)\\ M& =K-20& & (\cdots 3)\end{array}$
Substitusi persamaan $\left(2\right)$ dan $\left(3\right)$ pada persamaan $\left(1\right)$.
$\begin{array}{cc}M+U+K& =275\\ (K-20)+(K-5)+K& =275\\ 3K-25& =275\\ 3K& =300\\ K& =100\end{array}$
Jadi, panjang pita kuning adalah $100$ cm. Karena dipakai sepanjang $35$ cm, maka panjang sisa pita kuning adalah $65\text{cm}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Tiga tahun lalu, jumlah usia Hengki, Vio, dan Sunarti adalah $33$ tahun. Sekarang, usia Hengki $2$ tahun kurangnya dari usia Vio, sedangkan jumlah usia Vio dan Sunarti adalah $30$ tahun. Jika sekarang tahun $2020$, maka Hengki lahir pada tahun $\cdots \cdot$
A. $2009$                       D. $2005$
B. $2008$                       E. $2003$
C. $2007$

Pembahasan

Misalkan usia Hengki, Vio, dan Sunarti (dalam satuan tahun) sekarang berturut-turut dinotasikan dengan $H,V$, dan $S$
Tiga tahun lalu, jumlah usia Hengki, Vio, dan Sunarti adalah $33$ tahun. Secara matematis, ditulis
$\begin{array}{cc}(H-3)+(V-3)+(S-3)& =33\\ H+V+S-9& =33\\ H+V+S& =42\end{array}$
Jadi, diperoleh persamaan $H+V+S=42$
Sekarang, usia Hengki $2$ tahun kurangnya dari usia Vio. Secara matematis, ditulis
$H=V-2\iff V=H+2$
Jumlah usia Vio dan Sunarti adalah $30$ tahun. Secara matematis, ditulis
$V+S=30$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\{\begin{array}{cccc}H+V+S& =42& & (\cdots 1)\\ V& =H+2& & (\cdots 2)\\ V+S& =30& & (\cdots 3)\end{array}$
Substitusi persamaan $\left(2\right)$ pada persamaan $\left(3\right)$.
$\begin{array}{cccc}V+S& =30& & \\ (H+2)+S& =30& & \\ S& =28-H& & (\cdots 4)\end{array}$
Substitusi persamaan $\left(2\right)$ dan $\left(4\right)$ pada persamaan $\left(1\right)$.
$\begin{array}{cc}H+V+S& =42\\ H+(H+2)+(28-H)& =42\\ H+30& =42\\ H& =12\end{array}$
Jadi, usia Hengki sekarang adalah $12$ tahun. Jika sekarang tahun $2020$, maka Hengki lahir pada tahun $2008$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Empat tahun mendatang, jumlah umur Sukardi, Dennis, dan Willy adalah $52$ tahun. Enam tahun yang lalu, perbandingan umur Sukardi dan Dennis adalah $1:3$, sedangkan umur Dennis dan Willy berbanding $3:7$. Umur Willy sekarang adalah $\cdots \cdot$
A. $8$ tahun                      D. $16$ tahun
B. $10$ tahun                    E. $20$ tahun
C. $12$ tahun

Pembahasan

Misalkan $S,D,W$ berturut-turut menyatakan umur Sukardi, Dennis, dan Willy sekarang (dalam satuan tahun).
Empat tahun mendatang, jumlah umur Sukardi, Dennis, dan Willy adalah $52$ tahun. Secara matematis, ditulis
$\begin{array}{cc}(S+4)+(D+4)+(W+4)& =52\\ S+D+W+12& =52\\ S+D+W& =40\end{array}$
Diperoleh persamaan $S+D+W=40$
Enam tahun yang lalu, perbandingan umur Sukardi dan Dennis adalah $1:3$.
Secara matematis, ditulis
$\begin{array}{cc}\frac{S-6}{D-6}& =\frac{1}{3}\\ 3(S-6)& =D-6\\ 3S-18& =D-6\\ 3S-D& =12\end{array}$
Diperoleh persamaan $3S-D=12$
Enam tahun yang lalu, umur Dennis dan Willy berbanding $3:7$.
Secara matematis, ditulis
$\begin{array}{cc}\frac{D-6}{W-6}& =\frac{3}{7}\\ 7(D-6)& =3(W-6)\\ 7D-42& =3W-18\\ 7D-3W& =24\end{array}$
Diperoleh persamaan $7D-3W=42$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\{\begin{array}{cccc}S+D+W& =40& & (\cdots 1)\\ 3S-D& =12& & (\cdots 2)\\ 7D-3W& =24& & (\cdots 3)\end{array}$
Eliminasi $S$ dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}S+D+W& =40\\ 3S-D& =12\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 3\\ \times 1\end{array}\right|& \begin{array}{cc}3S+3D+3W& =120\\ 3S-D& =12\end{array}\\ & –\\ & \begin{array}{cccc}4D+3W& =108& & (\cdots 4)\end{array}\end{array}$$Eliminasi $D$ dari persamaan $\left(3\right)$ dan $\left(4\right)$
$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}7D-3W& =24\\ 4D+3W& =108\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 4\\ \times 7\end{array}\right|& \begin{array}{cc}28D-12W& =96\\ 28D+21W& =756\end{array}\\ & –\\ & \begin{array}{cc}-33W& =-660\\ W& =20\end{array}\end{array}$
Jadi, umur Willy sekarang adalah $20\text{tahun}$
(Jawaban E)